आकृती आणि वक्र(Diagrams and Curves)

 (J D Ingawale)

बी.ए.भाग ३. सेमी ६ अर्थशास्त्रातील संशोधन पध्दतीशास्र

आकृती आणि वक्र(Diagrams and Curves)

  तथ्यांना अधिक प्रभावीपणे स्पष्ट करण्यासाठी चित्रकृतीचा (Diagrams) वापर केला जातो. एखादी घटना आकृतीच्या स्वरूपात मांडली तर त्याचा अर्थ व आशय अगदी सामान्य माणसालाही समजणे शक्य होते. आकृती पाहताक्षणी तिचा अर्थ व महत्त्व आपल्या मनावर कोरला जातो. त्यामुळे तथ्यांची वास्तविकता चटकन लक्षात येते. म्हणूनच व्यावसायिक लोक, सहकारी संस्था प्रचारासाठी आणि जाहिरातबाजीसाठी आकृत्यांचा नेहमी वापर करतात. वृत्तपत्र, मासिके, टी.व्ही. इत्यादीमधून चित्राद्वारे जाहिराती केल्या जातात. अनेक वेळा त्याची परिणामकारकता वाढविण्यासाठी भिन्न रंगांचा वापर केला जातो.

 आकृतीचे फायदे/उपयोग / महत्त्व

१. दृश्य स्वरूप आकृती आपण डोळ्यांनी पाहू शकतो. आकडेवारीनुसार आशय समजून घेण्यासाठी आपणास बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार, सरासरी, शेकडेवारी इत्यादी प्रकारची आकडेमोड करावी लागते. मात्र आकृतीवरून तिचा आशय सहज आपल्या मनावर बिंबला जातो. उदा. गेल्या दहा वर्षांतील धान्य उत्पादन स्तंभाकृतीने दाखविले असेल तर त्यातील चढ-उतार लगेच आपल्या लक्षात येतात. त्यासाठी आकडेमोड करण्याची जरुरी नसते.

२. आकर्षकता अन्य पद्धतीने मांडलेली सामग्री नीरस व अभ्यासण्यास कंटाळवाणी असते. आकृती आकर्षक व आनंददायी असतात. म्हणूनच व्यावसायिक व सहकारी संस्था प्रदर्शनातून व जाहिरातीतून आकृत्यांचा वापर करतात. तथ्यांचे चित्रांद्वारे अधिक आकर्षक व परिणामकारक प्रस्तुतीकरण केले जाऊ शकते. चित्रांकडे लोकांचे लक्ष चटकन जाते ही एक मानसशास्त्रीय वास्तविकता आहे.

३. सुलभ चित्रे तथ्यांना समजण्यायोग्य सोपेपणा आणतात. जी गोष्ट आकडे आणि तक्त्यांमधून सहज समजत नाही ती चित्रांमुळे चटकन लक्षात येते.

४. दीर्घकाळ स्मरण: आकड्यांपेक्षा आपण पाहिलेल्या आकृती दीर्घकाळ आपल्या स्मरणात राहतात. मित्राचा घर नंबर आपल्या लक्षात राहणार नाही. पण त्याच्या हॉलमधील पोस्टर मात्र दीर्घकाळ लक्षात राहते.

५. तुलना करणे शक्य एखाद्या समस्येच्या अभ्यासासाठी आपण सारणीमध्ये आकडेवारी मांडली असेल तर ती सहजासहजी लक्षात येत नाही. मात्र लहान-मोठ्या आकाराच्या किंवा भिन्न रंगाचा वापर केलेल्या आकृतींची तुलना करणे सहज शक्य होते.

६. वेळेची बचत चित्रावरून निष्कर्ष काढण्यासाठी अधिक वेळेची गरज नसते. त्यातील वैशिष्ट्ये व गुणधर्म चटकन आपल्या लक्षात येतात. प्रा बाउले यांच्या मते, 'चित्र डोळ्याचे साहाय्यक आणि वेळेची बचत करणारे साधन आहे.

७. संशोधनासाठी उपयुक्त सामाजिक संशोधनात चित्रांचे प्रस्तुतीकरण उपयोगी ठरते. माहिती संकलन करणे सोपे जाते. एका दृष्टिक्षेपात संपूर्ण तथ्वाविषयी माहिती स्पष्ट होते.

८. प्रचाराचे साधन चित्र हे प्रचाराचे प्रभावी साधन आहे. त्यात प्रस्तुत केलेली गोष्ट डोळ्यांद्वारा प्रभावीपणे मेंदूपर्यंत पोहोचविली जाते. त्याचा मनावर अपेक्षित परिणाम घडतो.

चित्राकृतीचे दोष / मर्यादा

१. सविस्तर विश्लेषण अशक्य चित्र पाहून काही ठळक गोष्टी लक्षात येतात. त्यावरून कोणत्याही घटनेचे सविस्तर विश्लेषण करणे शक्य नसते.

२. सर्वसामान्य स्वरूप समजते आकृतीवरून केवळ स्थूल स्वरूप समजून घेणे शक्य असते. तथ्यातील बारकावे समजावून घ्यावयाचे असतील तर सारणीच उपयोगी पडते.

३. केवळ सामान्यांसाठीच उपयोग संशोधकाला किंवा संख्याशास्त्रज्ञाला निष्कर्ष काढण्यासाठी किंवा अहवाल तयार करण्यासाठी आकृतीचा उपयोग नसतो. सर्वसामान्य स्वरूपजाणण्याची इच्छा असलेल्यांनाच आकृतीचा उपयोग होतो.

 ४. केवळ एनजिनसी घटनांचे प्रस्तुतीकरण भिन्नता असणान्या तथ्यांचे प्रस्तुतीकरण आकृतीद्वारे शक्य नसते. केवळ एकजिनसी किंवा सजातीय तथ्यांचे प्रस्तुतीकरण चित्राकृतीद्वारे करता येते.

५. योग्य मापनदंडाचा अभाव आकृतीत संख्याबद्ध माहिती दिलेली नसते त्यामुळे योग्य माप किंवा संख्यात्मक प्रस्तुती अशक्य असते.

६. तुलनात्मक प्रस्तुतीकरण दोन चित्रांमधून एकाच विषयातील तथ्याची ढोबळ तुलना होऊ शकते. परंतु सामाजिक संशोधनात बहुतांश तथ्ये एकजिनसी नसतात. त्यामुळे चित्राद्वारे त्यांचे प्रस्तुतीकरण शक्य होत नाही.

७. पूर्वग्रहाची शक्यता चित्रकार आपली बुद्धी, कौशल्य, अनुभव इत्यादींचा वापर करून चित्र काढत असतो. त्यामुळे त्यात व्यक्तिगत पूर्वग्रह येण्याची शक्यता जास्त असते.

८. प्रमाणबद्ध प्रकटीकरण चित्राद्वारे प्रमाणबद्ध अंतर दाखविले जाते. परंतु दोनतथ्यात खूपच अंतर असेल किंवा सूक्ष्म अंतर असेल तर ही बाब चित्राद्वारे स्पष्ट करता ये 

आकृती तयार करण्यासाठी तत्त्वे

१. आकृती इतकी सोपी व सुटसुटीत असली पाहिजे की सामान्य माणसालाही तिचा आशय चटकन लक्षात यावा.

२. आकृतीला छोटे स्पष्ट व अर्थवाही शीर्षक द्यावे.

३. आकृती उभ्या-आडव्या स्तंभांनी दाखविलेली असेल तर त्यांची उंची व रुंदी यांचे प्रमाण योग्य असले पाहिजे, तरच ती आकर्षक दिसेल.

४. आकृती काढताना ती कोणत्या प्रमाणात (एककात) काढली आहे ते स्पष्ट करावे. उदा. १ सेंमी १० वर्षे

५. अनेक वेळा आकृती निरनिराळ्या रंगछटात दाखवितात. अशा वेळी कोणती बाब कोणत्या रंगात दाखविली आहे हे स्पष्ट करणारी सूची आकृतीच्या बाजूला असावी.

६. आकृतीतील एखादी विशिष्ट बाब सांगावयाची असेल तर त्याबद्दल तळटीप द्यावी.

७. आकृती स्वच्छ व आकर्षक असेल तर ती लोकांचे लक्ष वेधून घेते.

८. आकृती काढताना वेगवेगळ्या रंगछटांचा अवलंब करावा. म्हणजे ती लोकांचे लक्ष वेधून घेते.

आकृतीचे प्रकार

 १. एकमित आकृती

सर्वाधिक वापरात असलेली दंडाकृती साधा दंडालेख, विभाजित दंडाकृती स्तंभालेख इत्यादींचा यात समावेश होतो. यांना आलेख किंवा आकृती असेही संबोधतात.

२. द्विमित आकृती (Two Dimentional Diagrams)

द्विमित आकृतीचे वैशिष्ट्य म्हणजे त्यामधील किंमत ही आकृतीच्या क्षेत्रफळाच्या प्रमाणात असते. त्यामध्ये मुख्यतः पुढील आकृत्यांचा समावेश करता येईल.

१. चौरस दिलेल्या संख्येत फार मोठे चढ-उतार असतील तर दंडाकृतीऐवजी चौरसांचा वापर केला जातो. या चौरसांचे क्षेत्रफळ किमतीच्या प्रमाणात असते. चौरसाचे क्षेत्रफळ हे त्याच्या बाजूंच्या वर्गाइतके असल्यामुळे प्रथम त्यांचे वर्गमूळ काढतात आणि वर्गमुळाच्या प्रमाणात बाजू असलेले चौरस काढतात.

२. वर्तुळे (Circles): चौरसांच्या ऐवजी वर्तुळांनीही वरील आकडेवारी दाखविता येते. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ किमतीच्या प्रमाणात असते. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ IX (त्रिज्या) म्हणून प्रथम किमतीचे वर्गमूळ काढतात व वर्गमुळाच्या प्रमाणात त्रिज्या घेऊन वर्तुळे काढतात.

विभाजित वर्तुळ (Pie Diagram)

घटकांची संख्या तीन किंवा चारहून अधिक असेल तर विभाजित वर्तुळाकृतीचा उपयोग करतात. यामध्ये निरनिराळ्या त्रिज्यांनी वर्तुळाचे भाग पाडलेले असतात. अशा भागांना वर्तुळखंड असे म्हणतात. प्रत्येक वर्तुळखंड एक घटक दाखवितो व त्याचे क्षेत्रफळ घटकाच्या किमतीच्या प्रमाणात असते.

वक्र (Curve)

  आलेख पेपरवर ठरावीक स्केल घेऊन उभ्या आणि आडव्या अक्षावर घटक आणि त्यांच्या किमती दाखविल्या जातात आणि बिंदू जोडून वक्र तयार होतो.

वारंवारिता बहुभुजा (Frequency Polygon) वक्र

  स्तंभालेखावरून आपल्या लक्षात येईल की, स्तंभालेखात पायऱ्या असतात. परंतु आपणाला सलग वक्र पाहिजे असतो. म्हणून वारवारिता बहुभुजा काढताना प्रथम दिलेल्या आकडेवारीवरून स्तंभालेख काढावा लागतो. त्यातील प्रत्येक स्तंभाचे मध्यबिंदू घेऊन ते रेषाखंडानी जोडतात. पहिल्या आणि शेवटच्या स्तंभालेखाच्या पलीकडे 'क्ष' अक्षावर निम्म्या वर्गातरावर बिंदू घेतात व ते पहिल्या आणि शेवटच्या स्तंभाच्या मध्यबिंदूत जोडतात. त्यामुळे एक बंदिस्त बहुभुजा रेवा मिळते. यालाच वारंवारिता बहुभुजा वक्र असे म्हणतात,

वारंवारिता वक्र (Frequency Curve)

वारंवारिता बहुभुजा वक्राच्या बाजू रेषाखंड असतात. त्याचे कोपरे मोडून आपण त्यावरून त्याचे क्षेत्रफळ न बदलता सलग असा वक्र काढला तर त्याला वारंवारिता वक्र असे म्हणतात. दिलेल्या आकडेवारीतील वर्गांतराची लांबी लहान असेल तर वारंवारिता बहुभुजा हा जवळ जवळ वारंवारिता वक्रच असतो.

वारंवारिता वक्राचे आकार

(अ) प्रतिरूप वितरण वक्र अशा प्रकारचा वक्र व्यवहारात आढळत नाही. परंतु तात्त्विक विश्लेषणासाठी त्याचा वापर केला जातो. जर वितरण प्रतिरूप (Symmetrical) असेल तर वक्र आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे हळूहळू वर चढत जातो व तो सर्वोच्चबिंदूला पोहोचतो व त्याच क्रमाने हळूहळू तो खाली उतरत जातो. हा वक्र सर्वोच्च बिंदूतून जाणाऱ्या उभ्या सरळ रेषेच्या दोन्ही बाजूंना एकसारखाच असतो. म्हणूनच त्याला प्रतिरूप असे म्हणतात. सामान्यतः जेव्हा गणितमध्य, मध्यमा व बहुलक एकच असतात तेव्हा खालील आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे प्रतिरूप वितरण वक्राचा आकार सतो. हा आदर्श प्रकार समजला जातो.

(व) मर्यादित प्रतिरूप वक्र: हा वक्र प्रतिरूपच असतो. परंतु तो मर्यादित प्रमाणावर प्रतिरूप असतो. तो जर जलद वर चढत जाऊन हळूहळू उतरत असेल तर त्यास धन विरूप वक्र' असे म्हणतात.

   जर हा वक्र हळूहळू चढत जाऊन सर्वोच्च बिंदूनंतर जलद उतरत असेल तर त्याला 'ऋण विरूप वक्र' असे म्हणतात. आकृती 'ब' मध्ये याचा आकार दाखविलेला आहे. समाज शास्त्रीय संशोधनात अशा प्रकारचे वक्र मिळतात.

(क) संचित वारंवारिता वक्र वर्गीत वारंवारितेऐवजी संचित वारंवारितेचा उपयोग करून वक्र काढल्यास त्याला 'संचित वारंवारिता वक्र' असे म्हणतात.

संचित वारंवारिता वक्र काढण्याची पद्धती वर्गीत वारंवारितांची बेरीज करून संचित वारंवारिता मिळते. ही बेरीज वरून खाली व खालून वर अशा रीतीने करता येते. 'क्ष' अक्षावर वर्ग आणि 'य' अक्षावर संचित वारवारिता दाखवून संचित वारवारिता वक्र काढता येतो. सामान्यतः तो इंग्रजी S अक्षरासारखा असतो.

प्रथम 'पेक्षा लहान' वक्र तयार करावा म्हणजे दिलेली आकडेवारी चढत्या क्रमाने मांडावयाची व नंतर वर्गाच्या वारंवारितेची बेरीज वरून खाली करत जावयाचे. नंतर प्रत्येक वर्गाची संचित वारंवारिता व त्या वर्गाची वरची मर्यादा विचारात घेऊन बिंदू मिळविले जातात.

संचित वारंवारिता वक्राचे उपयोग संचित वारंवारिता वक्रावरून मध्यमा, चतुर्थक, दशमके इत्यादींच्या किमती काढता येतात. तसेच शेकडेवारीही काढता येते. संकलित सामग्रीचे विश्लेषण करण्यासाठीही संचित वारंवारिता वक्र उपयोगी पडतात.

(ड) लॉरेंझ वक्र आर्थिक विषमतेचे मापन करण्यासाठी लॉरेंझ वक्राचा वापर करतात. एखाद्या देशात थोड्या लोकांच्या हातात संपत्तीचे केंद्रीकरण झालेले असते किंवा थोड्या शेतकऱ्यांकडे जमिनीचा अधिक भाग केंद्रित झालेला असतो व बहुसंख्य लोक भूमिहीन असतात. अशा वेळी ह्या असंतुलनाचे मापन करण्यासाठी लरिंझ वक्राचा वापर करतात.

लॉरेझ वक्राची रचना : लॉरेंझ वक्र काढताना प्रथम चलांच्या किमतींची व त्यांच्या वारंवारितांची संचित बेरीज करतात. नंतर प्रत्येक चलाच्या प्रत्येक संचित किमतीची एकूण बेरजेशी शेकडेवारी काढतात. त्याचप्रमाणे संचित वारंवारितेची एकूण वारंवारितेशी शेकडेवारी काढतात. चलाची शेकडेवारी 'क्ष' अक्षावर आणि वारंवारितेची शेकडेवारी 'य' अक्षावर घेतात. हे बिंदू सलग वक्राने जोडतात. तसेच आरंभीचा बिंदू शेवटच्या बिंदूशी सरळ रेषेने जोडतात. ही समान वितरण रेषा होय. या वक्राकार आलेखालाव लरिझ वक्र असे म्हणतात.

लॉरेंझ वक्राचे उपयोग :

    आर्थिक व सामाजिक प्रश्नांची उकल करण्यास हा वक्र अधिक उपयोगी ठरतो. संपत्तीचे वितरण, करांचे वितरण, उत्पादनाचे वितरण, परीक्षेतील गुणांचे वितरण इत्यादीतील असमानतेचा अभ्यास करण्यासाठी रिझ वक्र उपयोगी पडतात.