विचलनाचे मापन (Measures of Variation)

 (J D Ingawale)

बी.ए.भाग ३ सेमी ६ पेपर १३ अर्थशास्त्रातील संशोधन पध्दतीशास्र

विचलनाचे मापन (Measures of Variation)

प्रास्ताविक

   मागील प्रकरणात आपण गणितीय मध्य, मध्यमा, बहुलक यांच्या साहाय्याने सामग्रीचे प्रतिनिधित्व करणारी संख्या शोधून काढणाऱ्या मापनांचा अभ्यास केला. पण ही केंद्रीय प्रवृत्तीच्या मापनाच्या साधनसामग्रीचा सर्वांगीण अभ्यास करतात का ? हा प्रश्न उद्भवतो. ती मापे खरोखर सर्व सामग्रीचे प्रतिनिधित्व करतात का ? किती प्रमाणात करतात ? विश्लेषणातून जी संख्या निश्चित केली जाते तीत पुरेसे प्रतिनिधी आहेत की नाहीत असे प्रश्न उपस्थित होतात. कारण समूहाचे काही प्रमाणात का होईना केंद्रीय प्रवृत्तीपासून विचलन झालेले असते. यासाठी विचलनाचा अभ्यास आवश्यक व महत्त्वाचा ठरतो.

विचलनशीलत्व (Variation or Disparsion)

  विचलनशीलत्व म्हणजे घटकांच्या प्रतिनिधीपासून विखुरणे, विस्कळीत होणे होय. प्रातिनिधिक संख्या ही मूळ घटकापैकी अधिकात अधिक घटकांच्या जवळची असावी अशी अपेक्षा असते. कारण तोच घटक सर्व सामग्रीचे यथार्थ प्रतिनिधित्व करू शकेल. पण व्यवहारात प्रत्यक्षात तसे घडत नाही. थोडक्यात, मूळ घटक प्रतिनिधित्व घटकापासून किती दूर आहेत, किती विखुरलेले आहेत अगर विस्कळीत आहेत हे मोजावे लागते. एखाद्या समूहातील घटक केंद्रीय प्रवृत्तीच्या वर आणि खाली कसे विखुरलेले आहेत हे दर्शविणाऱ्या गोष्टीस विचलनशीलत्व (Variability) म्हणतात. यावरून 'केंद्रीय प्रवृत्तीच्या दोन्ही अंगांना गुणांक-वितरण कसे आहे हे दर्शविणारे मापन म्हणजे विचलन होय.' घटक किती विखुरलेले आहेत हे मोजण्याच्या मापनांला विस्कलनाचे माप म्हटले जाते. अर्थात, कमी विचलन असणारा घटक समूहाचे अधिक चांगले प्रतिनिधित्व करील तर अधिक विचलन असणारा घटक समूहाचे चांगले प्रतिनिधित्व करीत नाही. सारांश, डॉ. बवलेच्या मते, 'विस्कलन हे पदांच्या विचलनाचे माप आहे.' कोन्नोर यांच्या मते, ज्या मर्यादिपर्यंत व्यक्तिगत पद मूल्यात भिन्नता असते त्याच्या मूल्यास विचलन म्हणतात.

‘विचलन मापनाचे महत्त्व ( उपयुक्तता)

१. विचलनाच्या मापनाने साधारणमानाची खात्री निश्चित होते. जेव्हा विचलन लहान असते तेव्हा साधारणमान वैयक्तिक किमतीचे अधिक प्रतिनिधित्व करते.

२. विचलन मापनाने विचलनाचे स्वरूप व कारण निश्चित करता येते. त्यामुळे नियंत्रण शक्य होते. उदा. एखाद्या कारखान्यात उत्पादनाच्या दर्जात ठरविलेल्या दर्जापेक्षा बदल झाल्यास दर्जा नियंत्रित करता येतो. वस्तूच्या गुण नियंत्रणाच्या प्रक्रियेत विचलनाचा वापर महत्त्वाचा असतो.

३. दोन श्रेणींमधील विचलनाची तुलना विस्कलन मापनाने करता येते. दोन श्रेणींमध्येअधिक सारखेपणा असल्यास विस्कलन मापनाचे मूल्य कमी राहते.

 ४. विस्कलन मापनाचा वापर संख्यात्मक विश्लेषणासाठी अधिक उपयुक्त असतो.

५. आर्थिक समस्यांचे विश्लेषण आणि तौलनिक अभ्यास करण्यासाठी विचलनाचा उपयोग अत्यंत लाभदायक असतो.

६. संपत्तीच्या विभाजनातील विषमता समजून घेण्यासाठी विचलन उपयुक्त असते.

७. आर्थिक मक्तेदारी व आर्थिक प्रवृत्तीचे केंद्रीकरण समजावून घेण्यासाठी विचलनाचे मापन अधिक उपयुक्त असते.

८. सामाजिक व आर्थिक प्रश्नांचे विवेचन करण्यासाठी विचलनाचा उपयोग योग्य असतो.

 विस्तार (Range)

विचलनाचे मापन करण्यासाठी वापरले जाणारे सर्वांना सहज समजेल असे साधन म्हणजे विस्तार होय. आकडेवारीतील सर्वांत मोठी किंमत आणि सर्वांत लहान किंमत यामधील फरक म्हणजे विस्तार होय. श्रेणीच्या पदमालेच्या उच्चतम आणि निम्नतम पदाच्या अंतरास विस्तार म्हणतात. एलहान्स (Elhance) यांनी विस्ताराची व्याख्या पुढीलप्रमाणे दिली आहे. 'विस्तार हैं विचलन मापाचे सर्वाधिक सोपे साधन आहे. श्रेणीच्या पदमूल्यातील उच्चतम आणि न्यूनतम यातील फरक होय.' विस्तार काढताना सर्वप्रथम सर्वांत मोठ्या मूलचा (किमतीचा) शोध घेतला जातो. तसेच सर्वांत लहान किंमत शोधली जाते. या दोन्ही किमतीची वजाबाकी केली असता येणारी किंमत म्हणजे विस्तार होय. या दोहोंतील अंतर जेवढे कमी तेवढी ती सामग्री निर्दोष समजली जाते. याउलट दोन मूल्यांतील अंतर जास्त असल्यास ती सामग्री सदोष समजली जाते.

विस्तारासाठी पुढील सूत्राचा अवलंब केला जातो.

Range=L-S     यातील रेंज= विस्तार

L= Large= मोठी किंमत      S= Small लहान किंमत

मोठ्या किमतीतून लहान किंमत वजा केली असता विस्तार लक्षात येतो. ही बाब पुढील उदाहरणाने अधिक स्पष्ट होईल. उदा. वसंत या विद्यार्थ्याला ७ विषयांत पुढीलप्रमाणे गुण मिळाले आहेत. ३५, ४०, ४८, ५०, ५५, ३८, ४५ वरील सामग्रीत सर्वांत मोठी संख्या ५५ आहे आणि सर्वात लहान संख्या ३५ आहे म्हणून

विस्तार = ५५-३५ = २०             विस्तार = २० होय..     या श्रेणीतील विस्तार २० आहे.

विस्ताराचे गुण (Merits of Range)

१. विस्ताराची गणना अगदी सोप्या पद्धतीने केली जात असल्याने ते समजण्यास अत्यंत सुबोध असते.

२. ही गणना अगदी अल्प वेळात करता येते.

३. यामध्ये केवळ उच्चतम आणि निम्नतम प्राप्तांक विचारात घेतले जातात.

४. कोणत्याही क्लिष्ट गणितीय आकडेमोडीशिवाय विस्ताराचे ज्ञान सहजपणे प्राप्त होते.

५. यासाठी बौद्धिक गणितीय प्रक्रिया करण्याची गरज नसते.

 ६. विस्ताराच्या साहाय्याने दोन गटांची तुलना अगदी सहजरित्या करता येते.

७. मध्याच्या प्राप्तांकामुळे विस्तार प्रभावित होत नाही.

८. अर्थव्यवस्थेतील व्याजदराच्या फेरबदलांचा हिशेब विस्ताराच्या साहाय्याने करता येतो.

९. केवळ प्राथमिक सांख्यिकीमध्ये याचा उपयोग केला जातो. १०. देशाच्या विनिमय दरातील बदलाचे मापन विस्ताराच्या साहाय्याने करता येते.

११. गुण-नियंत्रणाकरिता विस्ताराचे मापन उपयुक्त ठरते. १२. विस्ताराच्या साहाय्याने दोन गटांची तुलना सहजपणे करता येते.

विस्ताराचे तोटे (Demerits of Range)

१. विस्ताराची किंमत सामग्रीतील सर्व घटकांवर अवलंबून नसते. त्यात फक्त आत्यंतिक घटकांचाच विचार केलेला असतो.

२. विस्तार हे विचलनाचे माप असत नाही. कारण त्यात आत्यंतिक पदांना महत्त्व

दिलेले असते.

३. विस्तार वितरणाचा वर्ग सांगू शकत नाही. ४. दोन टोकाच्या किमतींचा अनिष्ट प्रभाव विस्तारावर पडतो.

५. विस्तार हे विचलनाचे अविश्वसनीय माप आहे कारण त्याचा संबंध उच्चतम व न्यूनतम पदांच्या फरकांपर्यंत मर्यादित असतो.

६. विस्ताराच्या साहाय्याने वितरणाचे मोजमाप शक्य होत नाही. ७. विस्तारामध्ये नमुना स्थिरता नसते. या अस्थिरतेचा प्रभाव विस्तारावर पडतो.

८. सामग्रीचा आकार भिन्न असेल तर विस्ताराच्या साहाय्याने अनुमान काढणे असमर्थनीय असते.

विस्ताराचा उपयोग

गुण-नियंत्रणासाठी विस्ताराचा उपयोग होतो. शेअर्स व रोखे बाजारातील किंमत बदलांचा अभ्यास करण्यासाठी विस्ताराचा अभ्यास मार्गदर्शन करू शकतो. व्यावसायिकांना विस्तारावरून किंमत बदलांचा योग्य अंदाज येऊ शकतो. हवामान खात्याला हवामानातील बदलांचा अंदाज करण्यासाठी कमाल व किमान तापमान ठरविणे, पावसाचा अंदाज वर्तवणे इत्यादींसाठी विस्तारामुळे मार्गदर्शन होते. डॉक्टर लोकांना नाडी परीक्षण करताना, शरीराचे तापमान ठरविताना विस्तार संकल्पना उपयोगी पडते.

प्रमाण विचलन (Standard Deviation-S.D.)

प्रमाण अगर मानक विचलन हे विस्कलन मोजण्याच्या सर्व मापनांत सर्वांत महत्त्वाचे मापन आहे. ते सर्व घटकांच्या किमतीवर आधारित असते. घटकांच्या किमतीचे गणितीय मध्यापासून अंतर काढतात आणि त्या अंतराच्या वर्गाची बेरीज करतात. त्या बेरजेस घटकांच्या संख्येने भागून येणाऱ्या गुणोत्तराच्या वर्गमुळास प्रमाण किंवा मानक विचलन असे म्हणतात. थोडक्यात, प्रमाण विचलन हे वर्गीकृत विचलनाच्या सरळ मध्याचे वर्गमूळ असते. प्रमाण विचलन हे S. D. अगर ग्रीक सिग्मा ने व्यक्त केले जाते. कार्ल पीअर्सनने सन १८९३ मध्ये प्रमाण विचलनाची सर्वप्रथम कल्पना मांडली. ते सूत्ररूपाने पुढीलप्रमाणे मांडले जाते.

विचलन मोजण्यासाठी प्रमाण विचलनाचा अधिक वापर करण्यात येतो. हे मापन अधिक निर्दोष व वैज्ञानिक आहे. आपण आतापर्यंत अभ्यासलेल्या निरनिराळ्या मापनांतील दोष प्रमाण विचलनाने दूर करता येतात. प्रमाण विचलन काढताना अशा गणितीय प्रक्रियेचा वापर केला जातो की, ज्यामुळे सामग्रीतील सर्व घटक आपोआप धनात्मक बनतात. त्यामुळे गणितीय शुद्धता राखता येते. प्रमाण विचलन काढताना अधिक व वजा चिन्हांना न वगळता विचलनांचा वर्ग काढण्यात येतो. वर्ग काढल्यानंतर सर्व विचलन आपोआप धन बनते. काही शास्त्रांत प्रमाण विचलनाला विचलनाचे द्वितीय महत्त्वाचे मापन समजतात. गणितशास्त्राच्या निकषाप्रमाणे हे सर्वांत अधिक शुद्ध मापन असल्याने याचा वापर सर्वांत जास्त होतो.

प्रमाण विचलन काढण्याची पद्धत

१. सुरुवातीला एकंदर घटकांच्या किमतीचा गणितीय मध्य काढला जातो.

 २. उपलब्ध गणितीय मध्यापासून सर्व घटकांच्या किमतीचे अंतर वजा अगर अधिकयामध्ये काढून घेतले जाते.

३. प्रत्येक घटकाच्या (विचलनाचे) गणितीय मध्यापासून काढलेल्या अंतराचा वर्ग केला जातो.

४. विचलनाच्या सर्व वर्गांची बेरीज केली जाते.

५. विचलनाच्या वर्गाच्या बेरजेला घटकांच्या एकूण संख्येने भागले जाते.

६. मिळालेल्या संख्येचे वर्गमूळ काढतात.

 ७. प्राप्त होणारे वर्गमूळ म्हणजेच प्रमाण विचलन होय.

प्रमाण विचलनाचे फायदे (गुण)

१. सर्व घटकांवर आधारित प्रमाण विचलन सर्व घटकांच्या किमतीवर आधारित असते. त्यामुळे एखाद्या घटकाच्या किमतीत बदल झाल्यास प्रमाण विचलनामध्येही बदल होतो. प्रमाण विचलन तेच राहू शकत नाही.

२. शुद्ध मापन : प्रमाण विचलन पदमालेतील सर्व मूल्यांवर आधारित असते. त्यामुळे अधिक शुद्ध व निर्दोष असे विश्वसनीय मापन असते.

३. निश्चितता याची व्याख्या अथवा अर्थ निश्चित असतो. त्यामुळे त्याची किंमत निश्चित असते. संदिग्धता नसते. ते एक सुदृढ व सुनिश्चित मापन असते.

४. नमुना चढ-उताराचा कमी परिणाम विचलनाच्या इतर मापनाशी तुलना करता नमुना चढ-उताराचा प्रमाण विचलनावर मोठ्या प्रमाणात परिणाम होत नाही.

५. बीजगणितीय क्रिया शक्य प्रमाण विचलन सर्व घटकांच्या किमतीवर आधारित असल्याने पुढे त्यावर बीजगणितीय क्रिया करता येते. त्यामुळे सर्व प्रक्रिया अधिक सुलभ बनते म्हणून हे मापन सर्वांत अधिक उपयोगात आणले जाते. दोन भिन्न गटांचा तुलनात्मक अभ्यास शक्य होतो.

६. शास्त्रीय मापन : प्रमाण विचलन हे इतर मापनांपेक्षा अधिक शास्त्रीय व बिनचूक मापन आहे. त्यामुळे विचलनाच्या इतर मापनांपेक्षा ते अधिक भरवशाचे आहे.

७. चिन्हे लक्षात घेतली जातात प्रमाण विचलन अधिक, वजा इत्यादी चिन्हे लक्षात घेऊन तयार केले जाते. त्याकडे दुर्लक्ष केले जात नाही. वजा चिन्ह वर्ग केल्याने आपोआप अधिक होते.

८. विश्लेषणास उपयुक्त प्रमाण विचलनाने विश्लेषण करणे सोपे होते. अभ्यास योग्य रीतीने करता येतो. विश्लेषण सुस्पष्टपणे करता येते. प्रमाण विचलनाचे

तोटे (दोष)

१. मापन सोपे नाही : सर्वसामान्य माणसाला प्रमाण विचलन काढणे शक्य होत नाही. हे मापन अनाकलनीय असे कठीण सांख्यिकीय मापन आहे.

२. क्लिष्ट गणितीय प्रक्रिया : प्रमाण विचलन काढताना गणितीय मध्य काढणे, त्याचा वर्ग करणे, वर्गमूळ काढणे इत्यादी गणितीय प्रक्रिया क्लिष्ट असतात. त्या सहजगत्या समजत नाहीत. क्लिष्ट व रूक्ष गणितीय प्रक्रियेने हे मापन गैरसोईचे होते.

३. शेवटच्या घटकाला अधिक महत्त्व : प्रमाण विचलन हे शेवटच्या घटकाला अधिक महत्त्व देते आणि जवळच्या घटकाला कमी महत्त्व देते.

४. मुक्तवर्गासाठी अनुपयुक्तता मुक्तवर्ग वितरण व गुणात्मक माहितीसाठी प्रमाण विचलन उपयुक्त नसते.

 ५. अकार्यक्षम मापन : माहिती जमा करून निष्कर्ष काढण्याचे काम सत्वर करावयाचे

 

असेल तर विचलनाचे हे मापन अकार्यक्षम ठरते.

 ६. व्यावहारिक अनुपयुक्तता : वरील अनेक दोषांमुळे राष्ट्रीय अर्थव्यवस्थेच्या विविध क्षेत्रांसाठी हे मापन व्यवहारात वापरले जात नाही.

प्रमाण विचलनाचा उपयोग

१. तुलनात्मक अभ्यास : दोन वितरणांतील तुलनात्मक अभ्यास करण्यासाठी प्रमाणविचलन हे अधिक उपयुक्त असते मात्र यासाठी वितरणातील एकक आणि त्यांचे माध्यम हे समान असणे आवश्यक आहे.

२. पदाचे स्थान निश्चित करणे दिलेल्या सामग्रीतील कोणते पद कोठे आहे हे प्रमाण विचलनाच्या मदतीने सहज निश्चित करता येते.

३. मध्याचे प्रतिनिधित्व ठरविणे दोन अगर दोहोंपेक्षा अधिक तुलनात्मक वितरणांतील मध्याचे प्रतिनिधित्व ठरविण्यासाठी प्रमाण विचलन उपयुक्त असते. ४. क्षेत्रफळ व आवृत्ती वक्र प्रमाण विचलनाच्या उपयोगाने आवृत्ती वक्र व क्षेत्रफळाची निश्चिती सहजपणे करता येते.

५. गुण नियंत्रण : गुण नियंत्रणासाठी नियंत्रणाची सारणी तयार केली जाते. तेव्हा नियंत्रणाची सीमा ठरविण्यास प्रमाण विचलन उपयुक्त असते. उत्पादन प्रक्रिया नियंत्रणात आहे किंवा नाही हे पाहता येते. अधिक लाभ उत्पादनासाठी नियंत्रण सीमांचे महत्त्व निर्विवाद असते.

सारांश, प्रमाण विचलनामध्ये काही दोष आहेत. तथापि, हे विचलनाचे सर्वश्रेष्ठ आणि सर्वमान्य असे मापन आहे.