केंद्रीय प्रवृत्तीचे मापन(Measures of Central Tendency)

 (J D Ingawale)

बी.ए.भाग.३.         सेमी.६.    पेपर 13      अर्थशास्त्रातील संशोधन पध्दतीशास्र

केंद्रीय प्रवृत्तीचे मापन(Measures of Central Tendency)

प्रास्ताविक

     एखाद्या समस्येचा उलगडा करण्यासाठी संशोधकाला खूप माहिती किंवा आकडेवारी जम करावी लागते. ही माहिती आकाराने खूप मोठी व विस्कळीत असते. त्यावरून आपणास काही बोध होत नाही. म्हणून विशिष्ट हेतूने सामग्रीचे आपण वर्गीकरण करतो. काही तक्ते तयार करतो. जमा केलेली माहिती उभ्या-आडव्या स्तंभात मांडण्याची कला म्हणजे सारणीकार (Tabulation) होय. या प्रक्रियेत बऱ्याचशा सामग्रीचा संक्षेप होतो. बरीच सामग्री लोप पावते.. म्हणजे अनावश्यक आकडेवारी गाळली जाते. या पत्रकातील आकडेवारीवरून आपण निष्कर्ष काढू शकतो. ही माहिती अधिक आकलनीय बनविण्यासाठी आकृत्या, आलेख यांचाही वापर केला जातो. ही सामग्री आणखी संक्षिप्त करण्याचे तंत्र म्हणजे केंद्रीय प्रवृत्ती होय. संपूर्ण सामग्री प्रातिनिधिक स्वरूपात एका संस्थेत संक्षिप्त करणे, सर्व सामग्रीवरून एखादा निर्णय घेण्यासाठी ती प्रातिनिधिक स्वरूपात मांडल्यास तिला केंद्रीय प्रवृत्ती असे म्हणता येईल.

केंद्रीय प्रवृत्ती म्हणजे काय ?

संशोधकाने जमा केलेल्या सामग्रीवरून सर्वमान्य सर्वसमावेशक असा निर्णय घेणारा अंक शोधून काढणे म्हणजे केंद्रीय प्रवृत्ती होय. जमा केलेल्या सामग्रीचे गट केले असता कोणत्याही गटातील प्राप्तांकाचा कल संबंधित मापनश्रेणीच्या मध्यावर जमा होण्याकडे असतो. प्राप्तांकाच्या ह्या गुणधर्माला केंद्रीय प्रवृत्ती असे म्हणतात. केंद्रीय प्रवृत्तीचे मापन म्हणजे 'सरासरी अगर मध्य' होय. केंद्रीय प्रवृत्ती म्हणजे दिलेल्या गुणांक समूहावरून त्या समूहाचा प्रतिनिधित्व करणारा गुणांक शोधून काढणे होय. यावरून केंद्रीय प्रवृत्तीची व्याख्या पुढीलप्रमाणे करता येईल. "दिलेल्या गुणांक समूहाचा प्रातिनिधिक गुणांक म्हणजे केंद्रीय प्रवृत्ती होय." तो गुणांक कमी अगर जास्त प्रमाणात मध्यवर्ती असतो. म्हणून याला केंद्रीय प्रवृत्ती असे म्हणतात. सारांश, केंद्रीय प्रवृत्तीचे स्वरूप विविध गटांतील प्रातिनिधिक मापन दाखविणारे असते.

    एका साध्या उदाहरणाने केंद्रीय प्रवृत्ती म्हणजे काय हे स्पष्ट करता येईल. उदा. समजा, बी. ए. च्या शेवटच्या वर्षातील विद्यार्थ्यांचे वय साधारणपणे २० वर्ष आहे. याचा अर्थ या वर्गातील सर्वच विद्यार्थी २० वर्षांचे आहेत असे नाही. यातील काही विद्यार्थी हे १९ वर्षांचे असतील, काही २० वर्षांचे असतील काही २१ वर्षे वयाचे असतील, असे असले तरी २ आपण असे म्हटले आहे की, बी. ए. च्या विद्यार्थ्यांचे वय २० वर्षांचे असते. म्हणजे यातील बहुसंख्य विद्यार्थी या वयाच्या दरम्यान असतात. २० वर्षे हा आकडा ह्या सर्व वयांचे प्रतिनिधित्वकरतो. तो आकडा सर्व संख्येत मध्यवर्ती असतो. म्हणून त्याला केंद्रीय / मध्यवर्ती प्रवृत्ती असे म्हणता येईल. ही आकडेवारी १८, १७, १९, २०, २१, १८ अशी मांडली असता २० हा आकडा मध्यवर्ती आहे. म्हणून त्याला मध्यवर्ती केंद्रीय प्रवृत्ती असे म्हणतात."एखाद्या मध्यवती .संख्येच्या आजूबाजूला गोळा होण्याची इतर संख्यांची जी प्रवृत्ती असते तिला केंद्रीय प्रवृत्ती असे म्हणतात. गुणांक कमी अगर जास्त प्रमाणात मध्यवर्ती असतो म्हणून त्याला केंद्रीय तो प्रवृत्ती म्हणतात. सपाट भूप्रदेशातील नदीच्या मध्यभागातून वाहणाऱ्या पाण्याचे प्रमाण जास्त असते. काठावरील पाण्याचे प्रमाण कमी कमी होत जाते. नदीतील पाण्याचा कल मध्यातून वाहण्याकडे असतो. प्राप्तांक संचाच्या बाबतीत नेहमी असेच आढळते. दुसरे उदाहरण म्हणजे भारत हा गरीब लोकांचा देश आहे. याचा अर्थ भारतात सामान्यतः सरासरीने गरिबांची संख्या जास्त आहे. असे असले तरी भारतातील काही लोक श्रीमंत आहेत. सारांश, केंद्रीय स्वरूप विविध गटांतील प्रातिनिधिक मापन दर्शविणारे असते. केंद्रीय प्रवृत्ती ही संख्यात्मक असते. त्याची किंमत साधारणत: पूर्णाकात दर्शविली जाते. केंद्रीय प्रतिमाने ही संबंधित मापनश्रेणीचा संदर्भ बिंदू म्हणून महत्त्वाची भूमिका बजावतात. ती दिलेल्या गटाचे यथायोग्य प्रतिनिधित्व करतात.

   केंद्रीय प्रवृत्ती ही सरासरीवर अवलंबून असल्याने तिचे स्वरूप गणितीय असते, ते मुलभ व स्पष्ट असून स्थिर असते. यामध्ये सर्व मूल्यांचा समावेश होतो. आरंभ अगर शेवटच्या पदाचा त्यावर प्रभाव पडत नाही.

केंद्रीय प्रवृत्ती मापनाचे महत्त्व / उद्देश

१. संपूर्ण समूहाचे संक्षिप्त चित्र केंद्रीय प्रवृत्तीच्या मापनाने स्पष्ट होते.

२. मध्यवर्ती / केंद्रीय प्रवृत्ती ही सर्व समूहाचे प्रतिनिधित्व करते.

३. केंद्रीय प्रवृत्तीचे मोजमाप समजण्यास सुलभ व सोपे असते.

४. त्यावरून समाजातील बदलाचे ज्ञान होते. उदा. आज टी. व्ही. हे समाजाचे मनोरंजनाचे प्रमुख साधन आहे

५. केंद्रीय प्रवृत्तीच्या मापकाची निश्चित अशी व्याख्या करता येते.

६. मध्यवर्ती प्रवृत्तीचे मापन करताना कठीण आकडेवारीच्या बेरजा अथवा गुणाकार करावा लागत नाही.

७. मध्यवर्ती प्रवृत्तीवरून विविध बाबींचे विश्लेषण करण्यास मदत होते. उदा. चांगल्या शिक्षकाच्या तासाला विद्यार्थी दांडी मारत नाहीत.

८. केंद्रीय प्रवृत्तीचे मापक हे सर्व संख्यांवर आधारित असते.

९. एकदा सरासरी काढल्यावर त्याच्यावर इतर बैजिक गणिती क्रिया करता येतात त्यामुळे ..प्रत्येक वेळी मूळची संख्या पाहण्याची गरज भासत नाही.

१०. एकदम मोठ्या आणि एकदम लहान अशा एखाद्या संख्येमुळे केंद्रीय प्रवृत मापनात फारसा फरक पडत नाही. केंद्रीय प्रवृत्ती विदर्शक असते. मापनश्रेणीच्या दरम्यान कोठेतरी हा बिंदू असतो.

११. केंद्रीय प्रवृत्तीचा उपयोग अर्थशास्त्रातील निर्णय व व्यावसायिक निर्णय घेण्यासाठी होतो.

१२. दोन पदमालांची तुलना करण्यासाठी केंद्रीय प्रवृत्ती मापनाचा उपयोग होतो. उदा. साक्षर माता देशाचे भवितव्य घडवितात.

१३. सरासरी लक्षात घेऊन पुढील नियोजन करता येते. उदा. सरासरी विक्री लक्षात घेऊन.. पुढील वर्षाचे अंदाज बांधता येतात. आषाढ श्रावणात कांद्याचे दर अधिक असतात.

१४. प्रातिनिधिक संख्या शोधून काढण्याचे तंत्र म्हणजे केंद्रीय प्रवृत्ती होय.

१५. कमी वेळात, कमी श्रमात व कमी खर्चात केंद्रीय प्रवृत्ती शोधून काढता येते.

केंद्रीय प्रवृत्तीच्या स्पष्टीकरणासाठी आणखी एक उदाहरण पाहू. उदा. समजा, एम.ए.च्या वर्गातील मुलांसाठी तयार गणवेश खरेदी करावयाचे आहेत. अशा वेळी प्रत्येकाच्या मापाचे कपडे मिळणार नाहीत. म्हणून सर्व मुलांना साधारण जवळचा असलेला विद्यार्थी निवडून त्याच्या मापाचे सर्वांना कपडे घेतल्यास किरकोळ दुरुस्त्या करून ते सर्वांना बसतील. हा निर्णय घेताना आपण प्रातिनिधिक विद्यार्थी निवडला. तसेच आकडेवारीच्या साहाय्याने निर्णय घेताना मध्यवर्ती प्रवृत्ती शोधून काढावी लागते.

केंद्रीय प्रवृत्ती मापनाचे प्रकार

 साधा गणितीय मध्यक (Simple Arithmetic Mean)

गणितीय मध्यक काढणे ही पद्धत अत्यंत सोपी असून रूढ आहे. सर्वांत अधिक वापरले जाणारे साधारणमान आहे. या पद्धतीत सर्व घटकांच्या किमतींची बेरीज करून त्यास एकंदर घटक संख्येने भागले असता येणाऱ्या गुणोत्तरास गणितीय मध्य म्हणतात. सेक्राईटच्या मते, एखाद्या आकडेवारीतील पदांच्या मूल्यांच्या बेरजेला पदांच्या संख्येने भागले असता येणारी संख्या ही मध्य होय.

१. सर्व घटकांच्या किमतीच्या बेरजेला एकंदर घटकांच्या संख्येने भागून गणितीय मध्य काढला जातो.

२. संबंधित गटातील सर्व घटकांची नोंद घेतली जाते.

३. गणितीय मध्य समजण्यास सोपे असल्याने अधिक प्रमाणात वापर केला जातो.

४. तो संबंधित सर्व घटकांच्या निरीक्षणावर अवलंबित असतो.

५. तो स्थिर असतो. पाहणीतील बदलांचा त्याच्यावर फारसा परिणाम होत नाही.

६. त्याचे बीजगणितीय वर्णन करता येते.

गणितीय मध्याचे गुण (फायदे) : १. सोपेपणा : गणितीय मध्य पद्धती समजण्यास अत्यंत सोपी व सरळ असते. सामान्य माणसाला समजणे सोपे असते.

२. सर्व किमतीवर आधारित : गणितीय मध्यामध्ये समूहातील सर्व किमतींची बेरीज केली जाते. म्हणून ते सर्व किमतीवर आधारित असते. अधिक निश्चिती येते.

३. सर्व घटकांना महत्त्व : या पद्धतीत समूहातील सर्व घटकांचा विचार केला जातो. म्हणून सर्व घटकांना समान महत्त्व दिले जाते.

४. नमुना स्थिरता : गणितीय मध्यात नमुना स्थिरता आहे. उदा. एखाद्या गावातील ५० कुटुंबांचे उत्पन्न घेऊन त्याचा गणितीय मध्य काढला, तसेच दुसऱ्या ५० कुटुंबांचे उत्पन्न घेऊन त्याचा गणितीय मध्य काढला, तर या दोहोंमध्ये फारसा फरक पडत नाही.

५. वैजिक क्रिया शक्य : गणितीय मध्यावर नंतर बीजगणितीय क्रिया करता येतात.

६. निश्चित प्रक्रिया गणितीय मध्य प्राप्त करण्याची प्रक्रिया ही निश्चित असते.

७. क्रमबद्धता आवश्यक नाही : गणितीय मध्य काढताना सर्व घटक क्रमाने लावणे आवश्यक नसते. त्यामुळे मध्यमापेक्षा ही पद्धती सोपी आहे. बहुलकाप्रमाणे समूहाची रचना करावी लागत नाही.

८. तुलनात्मक अभ्यास : तुलनात्मक अभ्यासासाठी ही पद्धती अधिक विश्वसनीय व खात्रीपूर्ण समजण्यात येते.

दोष (तोटे): १. गणितीय मध्य काही वेळा सामग्रीत आढळत नाही : आपण ज्या आकडेवारीवरून गणितीय मध्य काढलेला असतो तो त्या आकडेवारीत आढळत नाही. उदाहरणार्थ २, ७, ९ या तीन संख्यांचा गणितीय मध्य (२+७+९= १८ व ३) = ६ येतो पण ही संख्या दिलेल्या आकडेवारीत नाही.

 २. गणितीय मध्य अपूर्णांकात येतो : काही वेळा गणितीय मध्य अपूर्णांकात येतो. ही किंमत अशक्य व विचित्र वाटते. आपण पहिल्या उदाहरणात मुलांच्या गुणांचा गणितीय मध्य ५८.५ काढला आहे. असा अर्धा गुण सहसा दिला जात नाही. तो पूर्ण अंकामध्ये दिला जातो.

३. अंतकिमतीचा अधिक प्रभाव पडतो: टोकाकडील किमतीचा गणितीय मध्यावर अधिक प्रभाव पडतो. उदाहरणार्थ, एका कार्यालयात अधिकाऱ्याचा पगार ५,००० रुपये आहे. दोन कारकुनांचा पगार १,००० रुपये व ८०० रुपये आणि तीन शिपायांचा पगार अनुक्रमे ३५० १ रु. ३५० रु. ३०० रु. आहे. या कार्यालयातील पगाराचा गणितीय मध्य (५,००० + १००० + ८०० + ३५० + ३५० + ३०० = ७,८०० रु. + ६) = १,३०० रुपये येईल. पण या गणितीय मध्याने निष्कर्ष चुकीचा येण्याची शक्यता असते. यावर अधिकाऱ्याच्या पगाराचा अधिक प्रभाव पडला आहे.

४. सर्व घटक समान महत्त्वाचे हवेत : या पद्धतीचा वापर करताना सामग्रीतील सर्व घटक समान महत्त्वाचे असल्यास उपयोग करता येतो. अन्यथा ती फारशी उपयुक्त ठरत नाही. वर्णनात्मक अभ्यासासाठी तिचा उपयोग होत नाही.

५. मुक्त अंतर्वर्गासाठी अनुपयुक्त मुक्त अंतर्वर्गाच्या वितरणामध्ये गणितीय मध्य उपयुक्त नसतो. विशेषतः या वर्गामध्ये मोठ्या प्रमाणात घटक असल्यास गणितीय मध्य काढणे कठीण असते. तो काही गृहीतांवर अवलंबून असतो.

६. समान गणितीय मध्य वितरणात समानता नसते : दोन वितरणांचा गणितीय मध्य समान असल्यास दोन्ही वर्गीकरणे समान आहेत असे होत नाही. उदा. 'अ' फलंदाजाच्या धावा १०२, ९०, १०८ असल्यास गणितीय मध्य १०० येतो आणि 'ब' फलंदाजाच्या धावा २८५, २, १३ असल्यास त्याचाही गणितीय मध्य १०० येतो. याचा अर्थ दोन्ही फलंदाज समान चांगले नसतात.

७. आलेख काढता येत नाही : या पद्धतीमध्ये चित्र अगर आलेखाने दाखविणे शक्य नसते. शेकडेवारीचा अभ्यास करण्यास उपयुक्त नसते.

 उपयोग

गणितीय मध्याचा उपयोग जेव्हा सर्व घटक समान महत्त्वाचे असतात तेव्हा केला जातो. मध्याची गणना करणे सुलभ व समजणे सोपे असल्याने त्याचा सर्वात अधिक वापर केला जातो. आर्थिक व सामाजिक विषयांचा विस्तृत अभ्यास करण्यासाठी याचा वापर केला जातो. सरासरी राष्ट्रीय उत्पन्न, सरासरी उत्पादन, सरासरी आयात निर्यात व्यापार, सरासरी उत्पादन खर्च, सरासरी किंमत इत्यादी प्रश्नांचा अभ्यास करण्यासाठी गणितीय मध्य वापरले जाते. मात्र गुणात्मक अभ्यासासाठी ते वापरता येत नाही.

भारान्वित गणितीय मध्य (Weighted Arithmetic Mean)

 गणितीय मध्यामध्ये सर्व घटकांना समान महत्त्व दिले जाते हा त्याचा एक महत्त्वाचा दोष आहे. व्यवहारात असे घडत नाही. उदाहरणार्थ, आपल्या जेवणात गव्हाचे, तांदळाचे, साखरेचे, खाद्य तेलाचे महत्त्व सारखेच नसते. तेव्हा गणितीय मध्य योग्य प्रतिनिधित्व ठरत नाही. त्यासाठी भारान्वित गणितीय मध्याचा उपयोग करावा लागतो. एखाद्या घटकाच्या सापेक्ष महत्त्वाला त्याचा भार (Weight) म्हणतात. प्रत्येक घटकाचा भार (महत्त्व) विचारात घेऊन काढलेल्या गणितीय मध्यास भारान्वित गणितीय मध्य म्हणतात. निरनिराळ्या पदांचे महत्त्व दर्शविणारे अंक हे भार म्हणून ओळखले जातात. यासाठी प्रत्येक घटकाची किंमत व भार यांचा गुणाकार केला जातो. या गुणाकारांची बेरीज करून तिला सर्व घटकांच्या भारांच्या बेरजेने भागतात. हे गुणोत्तर म्हणजे भारान्वित गणितीय मध्य होय.

उपयोग

भारान्वित गणितीय मध्याचा उपयोग विविध प्रकारचे निर्देशांक तयार करताना होतो. त्याचप्रमाणे प्रमाणित जननदर व मृत्युदर काढताना होतो. वेगवेगळ्या घटकांना वेगवेगळे महत्त्व असते. तेव्हा साध्या गणितीय मध्याऐवजी भारान्वित गणितीय मध्य काढणे महत्त्वाचे असते. जेव्हा सामग्री अनेक उपविभागांत विभागलेली असते, विविध वर्गांचे तुलनात्मक शेकडेवारी दर दिलेले असतात तेव्हा भारान्वित मध्याचा उपयोग करणे श्रेयस्कर ठरते.

• समांतर मध्य (Average Mean)

समांतर मध्य काढणे तसे सोपे असते. पदमालेतील सर्व घटकांच्या एकंदर बेरजेला घटकांच्या संख्येने भागल्यास येणारा भागाकार हा समांतर मध्य असतो.

 (अ) प्रत्यक्ष पद्धती (Direct Method) ही पद्धती अत्यंत सोपी आहे. या पद्धतीत सर्व घटकांच्या एकूण बेरजेला घटकांच्या संख्येने भागतात. येणारे उत्तर हे समांतर मध्य असते. तथापि, जेव्हा घटकांची संख्या मोठी व खूप असते तेव्हा प्रत्यक्ष पद्धत उपयुक्त ठरत नाही.

(ब) अप्रत्यक्ष पद्धती (Indirect Method) : घटकांची संख्या अधिक असते, संख्या विशाल असते, घटकांमध्ये दशांश हिशेबाचा अधिक वापर असतो तेव्हा अशा परिस्थिि अप्रत्यक्ष पद्धतीचा वापर करतात.

समांतर मध्य हे प्रत्यक्ष व अप्रत्यक्ष पद्धतीने (१) व्यक्तिगत पदमाला (२) खंडित पदमाला व (३) सतत पदमाला. या तीनही पदमालेत काढता येते.

• बहुलक (Mode)

केंद्रीय प्रवृत्तीचे हे तिसरे परिमाण आहे. हा साधारणमानाचा एक प्रकार आहे. दिलेल्या घटकांच्या आकडेवारीत जी घटकसंख्या वारंवार येते (Frequency) तिच्या किमतीस बहुलक म्हणतात. किनीच्या मते, 'कोणत्याही वितरणात ज्यांची आवृत्ती सर्वांत जास्त असते अशा चलाचे मूल्य म्हणजे बहुलक होय.' (The value at the variable which occurs most frequently in a distribution is called the mode Keeny) म्हणूनच भूयिष्ठकाला सर्वात अधिक आवृत्तीचा आकार असणारे पद म्हटले जाते. थोडक्यात, बहुलक म्हणजे दिलेल्या घटकांच्या किमतीत जी किंमत सर्वांत अधिक वेळा येते ती किंमत होय. हे मूल्य एखाद्या समूहात किंवा पदमालेत सर्वात जास्त वेळा येते. दोन संख्यांची आवृत्ती समान वेळा झाली असल्यास त्यास 'द्विबहुलक पदमाला' असे म्हणतात. तीन बहुलक असल्यास त्यास 'त्रैबहुलक पदमाला' म्हणतात. दोन अगर तीन पेक्षा जास्त बहुलक असणाऱ्या पदमालेस 'बहुबहुलक पदमाला' म्हणतात.

बहुलक आकृतीने दाखविणे : बहुलक हा आकृतीने अथवा आलेखाने दाखविता येतो.

बहुलकाची वैशिष्ट्ये (लक्षणे)

१. बहुलकावर शेवटच्या घटकाचा परिणाम होत नाही. शेवटच्या घटकांच्या बदलांचा परिणाम दूर करणाऱ्या इष्ट उदाहरणांचा अभ्यास करण्यास बहुलक उपयोगी पडते. २. बहुलक वारंवार स्थिती निश्चित करणे अवघड असते.

३. बहुलकाचे बीजगणितीय विश्लेषण करता येत नाही.

४. बहुलक आलेखावर दाखविता येतो.

 ५. सर्वात अधिक वेळा येणारे पद वा मूल्य हे बहुलक असते.

बहुलकाचे गुण (फायदे) : १. निरीक्षणाचा अवलंब : बहुलक हा निरीक्षणाने काढता येतो. तो समजणे अत्यंत सोपे व सरळ असते.

२. अधिक स्थिर प्रवृत्ती : बहुलक म्हणजे समूहात ज्या घटक संख्येची सर्वात अधिक आवृत्ती होते तिची किंमत होय. त्यामुळे समूहातील सर्वांत मोठ्या अगर लहान संख्येचा त्यावर कोणताही परिणाम होत नाही. दोन्ही टोकांकडील किमतीचा बहुलकावर परिणाम होत नाही. ते अधिक स्थिर प्रवृत्तीचे असतात.

३. आलेखावर दाखविता येते : बहुलकाला आलेखावर दाखविता येते.

४. सामग्रीत आढळतो : घटक पृथकश्रेणीत बहुलक सामग्रीत आढळतो.

५. तंत्रकुशलतेची गरज नसते : बहुलक ओळखण्यास निरीक्षकास साधारणमानासंबंधीअधिक ज्ञानाची अगर तांत्रिक ज्ञानाची फारशी गरज नसते.

 ६. सामान्यांना समजतो : सर्वसामान्य व्यक्तींनाही बहुलक समजू शकतो. सर्व घटकांची किंमत मोजावी लागत नाही. वारंवार अधिक वेळा येणाऱ्या संख्येला बहुलक म्हटले जाते.

७. लोकप्रियता समजण्यास एखाद्या वस्तूची लोकप्रियता समजून घेण्यासाठी भूयिष्ठक हे सर्वांत महत्त्वाचे साधन आहे,

गणितीय प्रक्रिया : बहुलक गणितीय प्रक्रिया करण्यास सुगम व सुबोध आहे. दोष (तोटे) : १. नेहमीच ठरविणे कठीण दिलेल्या आकडेवारीत (सामग्रीत) मोठी वारंवारिता (वारंवार येणारे) घटक एकाहून जास्त असतील तर बहुलक ठरविणे कठीण असते. २. सर्व किमतीवर आधारित नसतो : बहुलकाची किंमत काढताना सर्व घटकांच्या

किमतीचा उपयोग केला जात नाही. म्हणून बहुलक सर्व किमतीवर आधारित नसतो.

 ३. प्रातिनिधिक नसतो : बहुलक हा नेहमीच प्रातिनिधिक असत नाही. कारण तो सर्व घटकांवर आधारित नसतो.

४. संदिग्ध व अनिश्चित: बहुलक संदिग्ध व अनिश्चित असतो. कारण एखाद्या सामग्रीत दोन वा तीन बहुलक आढळण्याची शक्यता असते.

५. गणितीय प्रक्रिया अशक्य : बहुलकावर गणितीय प्रक्रिया करता येत नाही. म्हणून त्याचा उपयोग केवळ अ-गणितीय हेतूसाठीच करता येतो. त्यावर मर्यादा येतात.

६. बहुलक अयोग्य ठरतो : अनेक वेळा बहुलक योग्य सरासरीचा अंक राहत नाही. उदा. एखाद्या परीक्षेत २५ विद्यार्थ्यांपैकी ४ विद्यार्थ्यांना गुण मिळाले तर ही सर्वांत अधिक आलेली संख्या ठरून बहुलक शून्य होईल. व्यवहारात गुणांची सरासरी दाखविण्यासाठी शून्य मान्य करणे कठीण असते.

७. निम्न व उच्च पदांना महत्त्व देणे कठीण : एखाद्या समूहातील उच्चतम व निम्नतम घटकांना महत्त्व द्यावयाचे असेल तर बहुलक निरुपयोगी ठरते.

 उपयोग

सर्वात अधिक वारंवारिता असणाऱ्या घटकाची किंमत समजणे काही वेळा गरजेचे असते. उदा. दुकानदारांना कोणत्या आकाराच्या शर्टाची, पँटची, बनियन्सची मागणी आहे हे समजणे गरजेचे असते. या ठिकाणी बहुलक उपयोगी पडते. जेव्हा मध्यवर्ती प्रवृत्तीचे मापन त्वरित व अंदाजी हवे असते तेव्हा बहुलक वापरणे योग्य ठरते. विशेषत: व्यापारात बहुलक सर्वांत जास्त महत्त्वाचे असते. कारण तो सर्वांत अधिक मूल्य असलेला घटक असतो. सरासरी विक्री, सरासरी उत्पन्न, सरासरी आकाराचे बूट इत्यादी बाबी बहुलकावरून समजतात. एखाद्या वर्गाच्या सर्वसाधारण प्रवृत्तीचे दर्शन होते.

दैनंदिन जीवनात बहुलकाला व्यावहारिक महत्त्व असते. आधुनिक व्यापारात याचे महत्त्व वाढत आहे. व्यापारविषयक अंदाजासाठी पूर्वानुमान म्हणून बहुलक मार्गदर्शकाचे काम करतो.

बहुलकाद्वारे तयार कपडे, टोप्या, चष्मे, पादत्राणे इत्यादी वस्तूंचे उत्पादन करणे उत्पादकांना शक्य होते. कोणत्या वस्तूंना बाजारात लोकप्रियता आहे हे समजावून घेण्यासाठी बहुलकाचा उपयोग होतो. हवामान खाते उष्णतामान, पर्जन्य, हवा यांसंबंधी पूर्वानुमान वर्तविण्यासाठी बहुलकाचा आधार घेतात. विज्ञानात बहुलकाचे स्थान अधिक महत्त्वपूर्ण बनत आहे."

• मध्यमा (Median)

साधारणमान मोजण्याची दुसरी पद्धती म्हणजे मध्यमा होय. या पद्धतीत सर्व घटकांची मांडणी त्यांच्या किमतीनुसार चढत्या अगर उतरत्या क्रमाने केली जाते. यामध्ये बरोबर मध्यभागी येणाऱ्या घटकाच्या किमतीस या आकडेवारीतील मध्यमा असे म्हटले जाते. ती साधारणमानाचे प्रतिनिधित्व करते. सारांश, मध्यमा म्हणजे वितरणातील असा एक बिंदू असतो की, ज्याच्या खाली आणि वर निम्मे प्राप्तांक राहतात. मध्यमा पदमालेतील मध्यवर्ती पदाचे मूल्य दर्शविते, उदा. पुढील ७ विद्यार्थ्यांचे गुण असे आहेत. ४०, ५०, ५५, ६०, ६२, ६५, ७० तर मध्यभागी येणारा चौथा म्हणजे चौथ्या विद्यार्थ्याचे गुण म्हणजे मध्यमा गुण (६०) होय.

  जर घटकांची संख्या विषम असेल तर मध्यभागी एकच घटक येतो. त्याची किंमत म्हणजे मध्यमा होय. परंतु घटकांची संख्या सम असेल तर मध्यभागी दोन घटक येतील. त्यांच्या किमतीची बेरीज करून त्याला दोनने भागून सरासरी काढली जाते. तिला मध्यमा म्हणतात.

मध्यमाची लक्षणे

१. मध्यमा शेवटच्या घटकाचा परिणाम होत नाही.

२. मध्यमा सहजपणे मोजता येते.

३. मध्यमा ही घटकांच्या नेहमी मध्यभागी असते.

४. घटकांची संख्या चढत्या अगर उतरत्या क्रमाने मांडली जाते.

५. सामान्यतः सरासरी प्रवृत्ती दर्शविण्यास मध्यमाचा उपयोग केला जातो.

६. सर्व घटकांच्या किमतीचे महत्त्व हिशेबात घेतले जात नाही. ७. क्षेत्र चौकशीसाठी केंद्रीय प्रवृत्तीचे हे अधिक सोईचे मापन आहे.

मध्यमाचे (गुण) फायदे : १. सोपी पद्धत : मध्यमा काढण्याची पद्धत अत्यंत सोपी आहे.

२. हिशेबास सोपी : मध्यमा हिशेब करण्याची सोपी व सुलभ पद्धती आहे.

३. अंतकिमतीचा प्रभाव नाही : दोन्ही टोकांकडील घटकांच्या किमतीचा मध्यमावर अवास्तव प्रभाव पडत नाही. उदा. ५, ७, १५, २०, १, २०० या किमतीची मध्यमा १५ आहे. तर गणितीय मध्य २४९.४ येतो. गणितीय मध्य फारसा प्रातिनिधिक ठरत नाही.

४. उचित प्रतिनिधित्व : मध्यमा समूहातील सर्व घटकांवर आधारित असते.ती म्हणून समूहाचे उचित प्रतिनिधित्व करते

५. ओळखता येते : मध्यमा निश्चितपणे ओळखता येते. ती दिलेल्या आकडेवारीत आढळते.

६. गुणात्मक सामग्री ठरविणे शक्य : जेव्हा गुणात्मक सामग्रीला संख्यात्मक स्वरूप देता येत नाही तेव्हा गणितीय मध्य ठरविता येत नाही. उदा. सौंदर्य, बुद्धिमत्ता, प्रामाणिकपणा इत्यादी बाबी अंकाच्या साहाय्याने मोजता येत नाहीत. पण आपण त्यांचा क्रम लावू शकतो. (काही विशिष्ट पद्धतींनी सौंदर्य, बुद्धिमत्ता मोजता येते.) अशा घटकांची क्रमाने मांडणी करून आपण मध्यमा ठरवू शकतो.

७. आलेखाचा उपयोग : मध्यमा बिंदू अथवा आलेखाने माहीत करून घेता येते.

मध्यमाचे दोष (तोटे)

१. अधिक वेळ : सामग्रीतील घटकांची मांडणी चढत्या अगर उतरत्या क्रमाने करून घ्यावी लागते. मोठी सामग्री असल्यास मध्यमा काढण्यास वेळ लागतो. वेळेचा अपव्यय होतो. काम कंटाळवाणे बनते.

२. सर्व किमतीवर आधारित नसते : मध्यमा सर्व किमतींवर प्रत्यक्षपणे आधारित नसते. कारण त्यासाठी आकडेवारीतील सर्व किमतींचा प्रत्यक्ष उपयोग केला जात नाही. फक्त मध्यवर्ती एक अगर दोन घटकांचा वापर करून ती काढली जाते.

३. योग्य प्रतिनिधित्व कठीण घटक अत्यंत कमी असतील आणि त्यांच्या किमतीमध्ये खूपच फरक असेल तर मध्यमा योग्य प्रतिनिधित्व करीत नाही. उदा. ५, ५०, ५०० या तीन

संख्यांमध्ये मध्यमा ५० आहे. हे काही सामग्रीचे योग्य प्रतिनिधित्व होत नाही.

४. एकूण मूल्य काढता येत नाही : मध्यमा आणि घटकांची संख्या माहीत असेल तर त्यावरून घटकांचे एकूण मूल्य काढता येत नाही.

५. स्थिरता नाही : मध्यमा मूल्याला आवश्यक तेवढी स्थिरता असत नाही. नमुनाअस्थिरतेचा तिच्यावर परिणाम होतो.

६. गणिती प्रक्रिया अशक्य : बीजगणितीय पद्धतीने मध्यमाची गणना करता येत नाही.

उपयोग

मध्यमाने दिलेल्या सामग्रीचे बरोबर दोन भाग पाडता येतात. त्यापैकी निम्मे घटक मध्यमापेक्षा मोठे असतात व निम्मे घटक मध्यमापेक्षा लहान असतात. आकडेवारीचे दोन भाग पाडण्याची गरज असते तेव्हा मध्यमा पद्धती वापरली जाते. त्यामुळे सामग्रीचा बरोबर मध्यबिंदू काढता येतो. मध्यमावर टोकांच्या घटकाचा परिणाम होत नाही. ही पद्धत समजण्यास सोपी व सुलभ असल्याने व्यावहारिक दृष्टिकोणातून उपयुक्त अशी सांख्यिकीय प्रक्रिया आहे.

   गुणात्मक समस्यांचा अभ्यास करण्यास मध्यमा श्रेष्ठ आहे. उदा. जनतेचे आरोग्य, क्रिकेटपटूची चपळता, विद्यार्थ्यांची बुद्धिमत्ता, कामगारांचा प्रामाणिकपणा इत्यादी बाबींचे योग्य उत्तर व निष्कर्ष मध्यमाने काढणे शक्य होते. आर्थिक नियोजनात सामाजिक व राष्ट्रीय समस्यांचा अभ्यास करण्यास ती उपयुक्त असते. मजुरी, संपत्तीचे वितरण, नोकरदार महिलांचे जीवन, टी. व्ही. चा तरुणांवरील प्रभाव इत्यादी बाबींचा अभ्यास करण्यास उपयोग होतो.